pi (π) historie

For nylig kunne man på dr.dk læse om beregningen af et nyt primtal.

Jeg kom til at tænke på et af mine ældre projekter om pi (π) og en cirkels perimeter eller omkreds og om denne perimeter kan udregnes nøjagtigt.

Kan en cirkels nøjagtige perimeter kendes?

Det korte svar er ja – hvis man vil have ulejligheden med at rulle den og måle hvor langt den rullede. Nøjagtigt – men en kende mere problematisk hvis det er Rundetårn. Man kan også lægge en snor omkring og derefter måle længden af snoren – en metode der er anvendelig på Rundetårn.

Det lange svar er nej. Værdien – der nok defineret som en konstant – har vist sig at være meget svær at udregne matematisk.

Til min skolelærdom hører, at man kan udregne en cirkels perimeter, hvis man kender diameter eller bredde af cirklen. Til regnestykket hører en konstant kaldet pi (efter det græske bogstav π), hvis værdi blev angivet til 3,14 eller 22/7.

P = π * d

Hvad jeg ikke lærte var

  • at konstanten pi er en tilnærmet værdi
  • at det i rumfart er nødvendigt med konstante korrektioner af fartøjets elliptiske bane fordi pi ikke kan udregnes nøjagtigt nok
  • at Bibelen angiver forholdet 3:1 altså π=3 – (1 Kongebog 7:23) “Derpå lavede han det støbte hav, ti alen fra den ene rand til den anden, cirkelformet i omkreds; og det var fem alen højt, og der skulle en målesnor på tredive alen til at nå rundt om det.”
  • at babylonierne regnede med π=3 eller π=3,125
  • at ægypterne brugte denne formel [(8*d)/9]^2
  • at det var Arkimedes der var først med teoretiske udregning (227/71 < π < 22/7)
  • at Zu Chongzhi introducerede 355/113 som er nøjagtig indtil 6. decimal
  • at brugen af bogstavet π startede i 1706
  • at π med 20 decimaler er = 3,14159265358979323846

I vores skolegang lærte vi at ved en diameter på 1 ville udregningen være:

P = 3,14 * 1 < => 
P = 3,14

SpeedCrunch har en indbygget konstant for pi

P = pi * 1 < =>
P = 3,14159265358979323846

Lad os prøve den samme diameter 1 men bruger istedet 22/7
Bemærk afvigelsen fra konstanten allerede ved 3. decimal

P = (22/7) * 1 < =>
P = 3,14 285714285714285714

Her med 355/113
Bemærk at afvigelsen kommer først i 6. decimal

P = (355/113) * 1 < =>
P = 3,141592 92035398230088

Kilder:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
http://www.ima.umn.edu/~arnold/graphics.html#archimedes
http://www.ualr.edu/lasmoller/pi.html
http://speedcrunch.org/

Using USB harddrives on RaspberryPi

This is surprisingly easy.

  • Make sure your PI has enough power – at least a 2Ah or better.
  • Mount the root partition your SD card
  • Mount your USB harddrive (ext4 formatted
  • Copy the root partition of the sdcard to a ext4 formatted usb-harddrive.
  • Rebember to sync to ensure all data are flushed from cache.
mount /dev/sdxY /your/sdcard/mountfolder
mount /dev/sdxY /your/usb/mountfolder
cp -r /your/sdcard/mountfolder/* /your/usb/mountfolder
sync

On the boot partition of the sdcard copy the file cmdline.txt -> cmdline.txt.bak.

cp /boot/cmdline.txt /boot/cmdline.txt.bak

Open cmdline.txt and find where it reads

root=/dev/mmcblk0p6

Change it to

root=/dev/sda1

Save your file.

Attach your USB drive to your PI, insert your SD card and plugin power. Your PI will boot faster and you dont wear your SD card down.

Raspberry Pi: resources

Resources

Raspberry Pi

http://www.raspberrypi.org/documentation/configuration/device-tree.md

http://www.raspberrypi.org/forums/viewtopic.php?f=29&t=97314

https://github.com/Hexxeh/rpi-firmware/tree/master/overlays

ArchLinux

http://archlinuxarm.org/platforms/armv6/raspberry-pi

http://archpi.dabase.com/

https://wiki.archlinux.org/index.php/Raspberry_Pi

http://elinux.org/ArchLinux_Install_Guide

http://docs.rpi-dashboard.com/system_configuration/enable_spi.html
http://www.raspberrypi.org/tag/arch-linux/

http://docs.rpi-dashboard.com/build_from_source/build_on_arch_linux.html